• Ortodroma
• Droga po ortodromie
• Wyprowadzenie wzoru na odległość ortodromiczną
• Droga po loksodromie
• Kurs początkowy i końcowy ortodromy
• Matematyczne obliczenie ortodromy (klasycznej)

Ortodroma

Ortodroma jest krótszym łukiem koła wielkiego przechodzącego przez dwa punkty (AB) na powierzchni Kuli Ziemskiej.

Ortodroma jest najkrótszą drogą między dwoma punktami na powierzchni Kuli Ziemskiej.
Koło wielkie przechodzące przez dwa punkty (AB) przecina równik w dwóch punktach, które leżą na linii prostej przechodzącej przez środek kuli. Punkty przecięcia się koła wielkiego z równikiem są oddalone od siebie o 180°.
Punkty leżące na kole wielkim posiadające największą szerokość nazywamy wierzchołkami.
Każde koło wielkie posiada dwa wierzchołki. Jeden z nich leży na półkuli północnej, drugi na południowej. Wierzchołek koła wielkiego leżący najbliżej ortodromy nazywamy wierzchołkiem ortodromy.
Różnica wierzchołków ortodromy wynosi 180°.
Równoleżniki wierzchołków są styczne do koła wielkiego.
Ortodroma przecina południk wierzchołka koła wielkiego pod kątem prostym. Kąt drogi ortodromy w tym punkcie wynosi 090° lub 270°.
Kąt zawarty między północną częścią południka punktu wyjścia nazywamy kątem początkowym (α).
Kąt zawarty między północną częścią południka punktu przeznaczenia, a ortodromą nazywamy kątem końcowym (przyjścia) (β).

Przebieg ortodromy na mapie Merkatora

Ortodroma przecina wszystkie południki pod różnymi kątami. Swoim wygięciem skierowana jest w stronę bieguna.

Zastosowanie żeglugi po ortodromie

Stosujemy powyżej 400Mm, do 400Mm nie zyskujemy nic na drodze. Tutaj, mała uwaga - ta opcja została przyjęta w zamierzchłych czasach, a jej celem była ekonomia. Szczególną rolę odegrała w czasach, kiedy wielkie transatlantyki rywalizowały o "Błękitną Wstęgę Atlantyku Północnego". Niestety, dzisiaj zastosowanie ortodromy jest "prawie" zerowe. Ale warto znać ten problem.

Największy zysk na odległości uzyskujemy gdy punkt wyjścia i przeznaczenia leżą na tej samej szerokości, ale nie na równiku i kiedy różnica długości jest duża. Najmniejszy zysk mamy gdy punkty A i B leżą na małych szerokościach lub gdy rλ jest mała. W pierwszym wypadku ortodroma jest zliczona do równika, a w drugim do południka.

W dużych szerokościach nie zawsze możemy odbywać żeglugę po ortodromie, gdyż wygięta bardzo silnie ku biegunowi przechodziłaby przez obszary zajęte lodami, mgły, silne przeciwne wiatry, zysk na takiej ortodromie mógłby być mniejszy, albo mógłby być stracony przez zmniejszenie szybkości, wymijanie gór lodowych, pokonywanie wiatru. Żegluga po ortodromie ma zastosowanie na Północnym Atlantyku i na Oceanie Spokojnym. W licznych przypadkach stosuje się żeglugę mieszaną, gdzie częściowo przebywa się drogę po ortodromie, a częściowo po loksodromie.

Droga po ortodromie

Korzyści z żeglugi po ortodromie

Zasadnicza rzecz - zysk na drodze.

Ortodromę dzielimy na małe odcinki, które łączymy loksodromami, po których steruje statek z jednego punktu do drugiego. W ten sposób następuje połączenie żeglugi po ortodromie z żeglugą po loksodromie, uzyskując przez to:

1. Możliwie najkrótszą drogę (ortodroma).
2. Możliwość sterowania wg kompasu (loksodroma).

Postępowanie przy obliczaniu drogi po ortodromie

Obliczając ortodromę musimy znaleźć odpowiedź na następujące pytania:

• Jaka jest odległość drogi po ortodromie?
• Czy opłaca się obliczanie ortodromy? Jeżeli tak to:
  • Jaki jest kurs początkowy i końcowy?
  • Jaką najwyższą szerokość osiągnie ortodroma?
  • Przez jakie punkty będzie przechodziła ortodroma?
  • Jakimi kursami należy iść od punktu do punktu i jak wielkimi będą drogi (odcinki) do przebycia?

Droga po ortodromie

Ponieważ ortodroma jest łukiem koła wielkiego, w takim razie wraz z południkami punktów przez, które przechodzi tworzy Δ sferyczny na powierzchni Ziemi.

Elementami tego Δ są: bok AB - droga po ortodromie bok APn - dopełnienie szerokości punktu A bok BPn - dopełnienie szerokości punktu B α - kurs początkowy β - kurs końcowy rλ - różnica długości punktu A i B

Drogę po ortodromie oblicza się z dowolnego wzoru na długość boku AB z wyszczególnionego Δ sferycznego, gdy dane są pozostałe boki i kąt między nimi zawarty.

• Wzór semiwersusowy:

• Wzór cosinusowy:

• Wzór semiwersusowy, który możemy używać jedynie, gdy droga jest mniejsza niż 90°:

• Dowolne układy tablicowe (analogie Nepera).

Wyprowadzenie wzoru na odległość ortodromiczną

cos d = cos (90°–φ_A) cos (90°–φ_B) + sin (90°–φ_A) sin (90°–φ_B) cos rλ
cos d = sin φ_A sin φ_B + cos φ_A cos φ_B cos rλ   (wzór cosinusowy)

cos d = sin φ_A sin φ_B + cos φ_A cos φ_B (1 – 2 sem rλ)    [wymnażamy]
cos d = sin φ_A sin φ_B + cos φ_A cos φ_B – 2 cos φ_A cos φ_B sem rλ
cos (φ_B – φ_A) = sin φ_A sin φ_B + cos φ_A cos φ_B
cos rφ = sin φ_A sin φ_B + cos φ_A cos φ_B

cos d = cos rφ – 2 cos φ_A cos φ_B sem rλ
1 – 2 sem d = 1 – 2 sem rφ – 2 cos φ_A cos φ_A sem rλ   /:(–2)
sem d = sem rφ + cos φ_A cos φ_B sem rλ

sem x = cos φ_A cos φ_B sem rλ
sem d = sem rφ + sem x

Uwagi do wzorów:
Wzór na odległość ortodromiczną może być stosowany we wszystkich przypadkach:

• Jeżeli φ_A i φ_B są równoimienne to wierzchołkiem Δ sferycznego jest biegun równoimienny z szerokością φ_A i φ_B.
  
• Jeżeli φ_A i φ_B są różnoimienne to wierzchołkiem Δ sferycznego jest biegun jednoimienny z szerokością większą.
  
• Wypadki szczególne. Ortodroma przecina równik - wzór ten jest aktualny pod warunkiem, że różnicę szerokości obliczymy algebraicznie. W tym przypadku wybieramy żeglugę po loksodromie, gdyż zysk po ortodromie jest niewielki.
  Kąt przecięcia ortodromy z równikiem stanowi punkt wierzchołka.

Droga po loksodromie

Z trójkąta drogowego

Aby dokładnie obliczyć "d", musimy dokładnie obliczyć KDd. Dlatego KDd obliczamy ze wzoru tg KDd, a potem wartość KDd podstawiamy do sec KDd.

Jak już wiemy tak obliczona droga nie może przekraczać 600Mm. Ortodromy są o wiele dłuższe, więc ponad 600Mm, zboczenie nawigacyjne "a" nie będzie linią prostą, a krzywą wypukłą w stronę ortodromy, więc loksodroma zostanie również "zakrzywiona", a tym samym skrócona. Aby temu zapobiec musimy wprowadzić poprawki.
Poprawkę taką nazywamy uśrednioną szerokością (φ_UŚ). Do naszego φ_UŚ dodajemy z odpowiednim znakiem, wartość tablicową i otrzymujemy φ_UŚ.
Wartość tą odczytujemy w tabeli.

Zysk na ortodromie

Kurs początkowy i końcowy ortodromy

Przy obliczaniu kursu początkowego i końcowego ortodromy możemy stosować następujące wzory:

1. Wzór połówkowy z analogii Nepera
2. Wzór sinusowy
3. Układ tabeli ABC

Ad.1.

Jeżeli b>a wówczas we wzorze drugim wartość sinusa będzie ujemna. Aby tego uniknąć należy dane przestawić z tym, że i w wyniku kąty A i B muszą być przestawione.
Ponieważ kąty w trójkącie sferycznym mogą przybierać wartości od 000° - 180°, dlatego otrzymane wartości wyrażamy w mierze połówkowej.
α - pierwszy znak od bieguna widocznego
β - pierwszy znak od bieguna niewidocznego
drugie znaki od rλ

Ad.2.

Uwaga: nie można określić ćwiartek!

Ad.3.

Porównanie Δ sferycznego astronomicznego z Δ biegunowym nawigacyjnym

Argumenty wejściowe do tabeli ABC:

A  →  φ_A – rλ (argumenty dla α)  –  φ_B – rλ (argumenty dla β )
A  →  φ_B – rλ (argumenty dla α)  –  φ_A – rλ (argumenty dla β )

Argument wyjściowy z tabeli ABC:

C  ←  φ_A – α  –  φ_B – β

Oznaczenie ćwiartek:

Dotyczy kąta α (C+) jednoimienne z φA (C–) różnoimienne z φA

Dotyczy kąta β (C+) różnoimienne z φB (C–) jednoimienne z φB

Drugie znaki zależą od rλ

Wierzchołek ortodromy

Wierzchołek ortodromy jest najwyżej położonym punktem, przez który przechodzi ortodroma. Znajomość jego jest potrzebna:

• By się przekonać czy ortodroma przechodzi przez obszary niebezpieczne dla żeglugi.
• W celu obliczenia współrzędnych punktów podziału ortodromy.

Celem obliczenia współrzędnych wierzchołka wykorzystuje się poprzednio obliczone kursy; początkowy i końcowy. Wierzchołek może leżeć między południkami punktu wyjścia i przeznaczenia lub poza jednym z nich, czyli na zewnątrz trójkąta.
Wierzchołek leży wewnątrz trójkąta sferycznego jeżeli kąty α i β są kątami ostrymi.

Wierzchołek leży poza jednym z nich (południków), jeżeli jeden z uzyskanych kątów jest większy od 90°. W tym wypadku leży on zawsze poza południkiem na, którym opiera się kąt większy niż 90°.

Ortodroma przecina południk wierzchołka pod kątem 90°. Południk wierzchołka tworzy wraz z pozostałymi bokami trójkąt prostokątny.

Do obliczenia pozostałych elementów możemy stosować regułę pięcioboku Nepera:

• Cosinus dowolnego elementu równy jest iloczynowi cotangensów elementów przyległych.
• Cosinus dowolnego elementu równa się iloczynowi sinusów elementów przeciwległych.

Znak φ_w jest znakiem bieguna widocznego, aby otrzymać długość wierzchołka musimy do długości punku A dodać z odpowiednim znakiem rλ_w.

Punkty podziału ortodromy

Współrzędne punktów podziału oblicza się z prostokątnego trójkąta sferycznego opartego na biegunie i wierzchołku ortodromy. Z trójkąta tego oblicza się szerokość dowolnie obranego punktu na ortodromie. Również z tego trójkąta możemy obliczyć kursy jakimi należy iść od punktu do punktu.

Danymi w tym trójkącie są:
φ_w i rλ_z (dowolnie obrana różnica długości)

Dla założonej rλ_z otrzymujemy φ_z punktu zwrotnego "Z".

• gdy wierzchołek leży na ortodromie, obliczane φ_z jest jednocześnie szerokością dla punktów; jednego leżącego na "E" (wschód) od wierzchołka, drugiego leżącego na "W" (zachód) od wierzchołka.
• gdy wierzchołek leży poza ortodromą obliczane φ_z odnosi się tylko dla jednego punktu zwrotnego.

Ilość punktów podziału powinna być jak największa, gdyż zmniejsza się róznica między drogą po ortodromie, a poszczególnymi loksodromami. Po obliczeniu współrzędnych punktów podziału należy te punkty nanieść na mapę generalną lub arkusze zliczeniowe oraz połączyć loksodromami.

W rejonach gdzie są prądy, KDd należy obliczyć z uwzględnieniem prądów. Nanoszenie całkowitej ortodromy w praktyce jest w zasadzie zbyteczne. Potrzebna ona jest po to aby zorientować się czy przechodzimy przez obszary bezpieczne czy też nie. W praktyce nanosimy punkty zwrotne, łączymy je dopiero potem, jeżeli pozycja obserwowana nie odbiega daleko od obliczonej. Jeżeli odbiega nanosimy zazwyczaj nowe gałęzie ortodromy.

Kursy dla punktów podziału

Kursy dla punktów podziału ortodromy obliczamy według tabeli ABC.

Drugi znak zależy od - rλ

Przykłady

Matematyczne obliczenie ortodromy (klasycznej).

Przykład

1. Obliczamy rφ oraz rλ

φB = + 55°00'0 (-) φA = + 60°00'0 rφ = – 5°00'0 rφ = – 300'0

λB = – 049°00'0 (-) λA = – 004°00'0 rλ = – 045°00'0 rλ = – 2700'0

2. Obliczamy odległość po ortodromie.

sem x = sem rλ cos φ_A cos φ_B sec rφ
sec d = sec x sec rφ

log sem rλ = 9,16568 log cos φA = 9,69897 log cos φB = 9,75859 log sec rφ = 0,00166 log sem x = 8,62490 log sec x = 0,03824 log sec rφ = 0,00166 log sec d = 0,03990 d = 24°11'5 dORT = 1451,5 Mm

3. Obliczamy odległość po loksodromie

log 2700 = 3,43136 log cos 56°57'0 = 9,73669 colog 300 = 7,52288 log tg KDd = 0,69093 log 300 = 2,47712 log sec KDd = 0,69975 log d = 3,17687 d = 1500,25 dLOKS = 1500,25 Mm

4. Obliczamy zysk

d_LOKS – d_ORT = 1500,25 – 1451,5 = 48,75 Mm

No i tutaj powinniśmy zakończyć liczenie ortodromy, bo zysk jest znikomy. Ale dla wprawy i samej ciekawości policzmy całą ortodromę.

5. Obliczamy kąt początkowy i końcowy ortodromy

a = 90° – φ_A = 90° – (+55°) = 35°00'0
b = 90° – φ_B = 90° – (+60°) = 30°00'0
(a – b) : 2 = 02°30'0
(a + b) : 2 = 32°30'0
C : 2 = 22°30'0

6. Obliczamy współrzędne wierzchołka

cos φw = cos φA sin α

log cos φA = 9,69897 log sin α = 9,99556 log cos φw = 9,69453 φw = 60°20'1 N

tg rλw = cosec φA ctg α

log cosec φA = 0,06247 log ctg α = 9,15777 log tg rλw = 9,22024 rλw = –9°25'4 λA = –004°00'0 (+) rλw = –009°25'4 λw = 013°25'4 W

7. Obliczamy punkty podziału

Założyliśmy, że punkty podziału na ortodromie poprowadzimy co 9° długości.
Punkt - A φ_A = 60°00'0 N ; λ_A = 004°00'0 W
Wierzchołek φ_w = 60°20'1 N ; λ_w = 013°25'4 W

Jak widzimy wierzchołek ortodromy jest oddalony od pozycji A o ≈ 9°. Wobec tego nie pozostaje nam nic innego jak odcinek ortodromy między wierzchołkiem a pozycją B podzielić na mniej więcej równe odcinki, zbliżone do ≈ 9° długości.

λw = –013°25'4 (-) λB = –049°00'0 rλw-B = +035°34'6

rλ_w-B = 035°34'6 (2134,6) : 9° (540'0) = 3,95

więc odcinek ortodromy między wierzchołkiem a pozycją B możemy podzielić na cztery części
2134'6 : 4 = 533,65 (8°53'60)

W ten sposób obliczyliśmy λ dla każdego punktu podziału (Z) i tak:

Nie pozostało nic innego jak obliczyć φ każdego punktu podziału:

Zróbmy zestawienie punktów podziału i ich pozycje geograficzne:

8. Obliczamy kursy (KDd) między punktami podziału.

Możemy to zrobić za pomocą wzoru wykorzystując analogię Nepera.

KDd można również obliczyć za pomocą tabeli ABC.

9. Rozwiązanie całej ortodromy

Matematyczne obliczanie ortodromy (klasycznej), której wierzchołek leży poza ortodromą.

Praktycznie nikt takiej ortodromy nie oblicza i nikt po takiej ortodromie nie żegluje. Ortodroma taka kształtem jest zbliżona do południka i zysk na drodze jest kompletnie "zerowy". Aby nie być gołosłownym obliczmy taką ortodromę.

1. Obliczamy rφ oraz rλ

φB = (+) 27°00'0 (-) φA = (+) 60°00'0 rφ = (–) 33°00'0 rφ = (–1980')

λB = (–) 060°00'0 (-) λA = (–) 040°00'0 rλ = (–) 20°00'0 rλ = (–1200')

2. Obliczamy odległość po ortodromie.

sem x = sem rλ cos φ_A cos φ_B sec rφ
sec d = sec x sec rφ

log sem rλ = 8,47934 log cos φA = 9,69897 log cos φB = 9,94988 log sec rφ = 0,07641 log sem x = 8,20460 log sec x = 0,01413 log sec rφ = 0,07641 log sec d = 0,09054 d = 35°43'5 dORT = 2143,5 Mm

3. Obliczamy odległość po loksodromie

log 2700 = 3,07918 log cos rφśr = 9,86056 colog rφ = 6,70333 log tg KDd = 9,64307 d = rφ sec KDd log rφ = 3,29667 log sec KDd = 0,03836 log d = 3,33503 dLOKS = 2163,0 Mm

Proszę zauważyć, że nie stosujemy tutaj φ_uś. Tabela, z której odczytujemy φ_uś opracowana jest dla max. rφ=21°, a w naszym wypadku rφ=33°. To sygnalizuje nam, że ortodroma jest "prawie" równoległa do południka, więc jakiekolwiek poprawki nie mają tutaj znaczenia.

4. Obliczamy zysk

d_LOKS – d_ORT = 2163,0 – 2143,5 = 19,5 Mm

jak widzimy zysk jest rzeczywiście "zerowy", ale liczmy dalej, aby wykazać przebieg ortodromy oraz pozycję jej wierzchołka.

5. Obliczamy kąt początkowy i końcowy ortodromy

a = 90° – φ_A = 90° – (+27°) = 63°
b = 90° – φ_B = 90° – (+60°) = 30°
(a + b) : 2 = 46°30'0
(a – b) : 2 = 16°30'0
C : 2 = 10°00'0

6. Obliczamy współrzędne wierzchołka

cos φw = cos φA sin α

log cos φA = 9,69897 log sin α = 9,71736 log cos φw = 9,41633 φw = 74°52'9 N

tg rλw = cosec φA ctg α

log cosec φA = 0,06247 log ctg α = 0,21368 log tg rλw = 0,27615 rλw = +62°06'0 λA = –40°00'0 (+) rλw = +62°06'0 λw = +22°06'0 λw = 022°06'0 E

7. Obliczamy punkty podziału ortodromy.

Ortodromę dzielimy na odcinki co 4° długości. Jak nam wiadomo punkty podziału ortodromy obliczamy w odniesieniu do wierzchołka ortodromy. A więc różnica długości między wierzchołkiem (W), a punktem początkowym (A) ortodromy wynosi rλ_(A-W) = 62°06'0
Każdy kolejny punkt podziału ortodromy będzie miał swoją rλ powiększoną o 4°.

8. Obliczamy KDd między poszczególnymi punktami podziału, używając do tego tablic ABC.

λB = (–) 060°00'0 (–) λZ1 = (–) 044°00'0 rλZ1 = (–) 016°00'0

A = (–) 5,08 (+) B = (+) 1,85 C = (–) 3,23 S28°W 208°

λB = (–) 060°00'0 (–) λZ2 = (–) 048°00'0 rλZ2 = (–) 012°00'0

A = (–) 5,91 (+) B = (+) 2,45 C = (–) 3,46 S24°W 204°

λB = (–) 060°00'0 (–) λZ3 = (–) 052°00'0 rλZ3 = (–) 008°00'0

A = (–) 7,25 (+) B = (+) 3,66 C = (–) 3,59 S21°W 201°

λB = (–) 060°00'0 (–) λZ4 = (–) 056°00'0 rλZ4 = (–) 004°00'0

A = (–) 10,97 (+) B = (+) 7,30 C = (–) 3,67 S19°W 199°

Rozwiązanie:

(*) Uwaga
Z punktu Z₄ do B obliczono KDd=199°, a powinien być równy β=197°.
Jak wytłumaczyć tę różnicę. Gdy porównamy odległości pomiędzy poszczególnymi punktami podziału, to zauważymy, że odległość między Z₄ a B jest największa. Dlatego z punktu Z₄ powinniśmy sterować 199° do połowy odległości odcinka Z₄ – B, a drugą połowę, aż do punktu B 197°.

Reasumując: Nie ma sensu obliczać takiej ortodromy, bo i tak z niej nie skorzystamy.