• Loksodroma i ortodroma
• Żegluga po loksodromie
• Zboczenie nawigacyjne a średnia szerokość geograficzna
• Trójkąt Merkatora
• Zliczenie matematyczne
• Żegluga po ortodromie

Loksodroma i ortodroma

Linia biegnąca po powierzchni kuli ziemskiej, przecinająca południki geograficzne pod jednakowym kątem nazywana jest loksodromą. Jeżeli kąt ten będzie równy zeru to loksodroma pokrywać się będzie z jednym z południków geograficznych. Jeżeli kąt będzie równy 90° to loksodroma pokrywać się będzie z jednym z równoleżników geograficznych. Można więc powiedzieć, że loksodromami są wszystkie południki i równoleżniki geograficzne. W pozostałych przypadkach loksodroma tworzy spiralną linię, która stopniowo zmierza do bieguna.

Wykreślona na mapie Merkatora linia prosta (kurs) zawsze przecina południki pod takim samym kątem, a więc jest loksodromą. Jacht utrzymujący taki kurs względem kompasu porusza się po loksodromie - czyli nie po najkrótszej drodze (za wyłączeniem kiedy loksodromą jest jeden z południków geograficznych lub równik).

Najkrótszą odległością na kuli ziemskiej pomiędzy dwoma punktami jest ortodroma, czyli odcinek koła wielkiego, który zawarty jest między tymi punktami. Ortodromami i loksodromami są jedynie równik i południki geograficzne. Wybierając żeglugę po ortodromie największe korzyści otrzymuje się przy pokonywaniu dużych odległości, powyżej 500Mm, z dala od równika, gdy punkt wyjścia i punkt docelowy leżą na zbliżonej szerokości geograficznej.

Wykreślona na mapie Merkatora ortodroma jest krzywą wybrzuszoną ku bliższemu biegunowi. Nawigując tradycyjnymi metodami żegluga po ortodromie staje się dość skomplikowana, co nie stanowi większego problemu jeżeli jacht wyposażony jest w odpowiednie urządzenia (np. C-MAP). Żegluga po ortodromie jest niczym innym jak żeglugą loksodromiczną, ponieważ odbywa się odcinkami loksodromy. A odpowiedni program komputerowy w połączeniu z odbiornikiem GPS może na bieżąco korygować kurs jachtu.

Żegluga po loksodromie

Żeglugę po loksodromie nazywamy żeglugę przy, której droga statku tworzy kąt prosty z południkami. W praktyce mamy do czynienia tylko z żeglugą po loksodromie, gdyż żegluga odcinkami ortodromy odbywa się po loksodromie.

Zasadnicze problemy żeglugi po loksodromie:

• Dane: φ_A ; λ_A ; KDd ; d (odległość do przebycia)
  Szukane: φ_B ; λ_B
  
• Dane: φ_A ; λ_A ; φ_B ; λ_B
  Szukane: KDd ; d (nad dnem)

Oba problemy obliczamy zwykle wykresowo na mapie. Zachodzą jednak wypadki, kiedy musimy je rozwiązać rachunkowo (przy dużych odległościach, braku odpowiedniej mapy, gdy skala mapy jest mała).
Przy rachunkowym rozwiązaniu istnieją dwa sposoby:

1. Za pomocą średniej szerokości (Trójkąt drogowy)

2. Za pomocą powiększonej szerokości (Trójkąt Merkatora)

Trójkąt loksodromiczny

Δ ABC jest trójkątem prostokątnym przy wierzchołku C; elementami tego trójkąta są:
Bok AC = rφ - różnica szerokości.
Bok CB = a - zboczenie nawigacyjne.
Bok AB = d - odcinek loksodromy.
CAB = KDd

Trójkąt ten nazywamy trójkątem loksodromicznym.
Trójkąt loksodromiczny jest to trójkąt na kuli ziemskiej utworzony przez: różnicę szerokości, zboczenie nawigacyjne, loksodromę i KDd.
Boki Δ loksodromicznego są wyrażone w milach morskich (Mm).
Δ loksodromiczny nie jest Δ płaskim ani sferycznym, stąd też mamy trudności w wyprowadzeniu zależności tego trójkąta.

Trójkąt loksodromiczny       Trójkąt drogowy (nawigacyjny)

Jeżeli trójkąt loksodromiczny ABC jest mały (droga nie przekracza 600 Mm) wówczas możemy go uważać za trójkąt płaski prostokątny o kącie prostym (90°) przy C, o tych samych elementach, które ma trójkąt loksodromiczny na kuli; taki trójkąt nazywamy drogowym.
Trójkąt drogowy jest to trójkąt płaski o tych samych elementach co trójkąt loksodromiczny na kuli.
Trójkąt drogowy nie istnieje. Służy on nam tylko do obliczeń.

Zboczenie nawigacyjne a średnia szerokość geograficzna

Zboczenie nawigacyjne a średnia szerokość geograficzna

Wzór na zboczenie nawigacyjne jest już nam znany, czas abyśmy go zastosowali do obliczeń.

Najpierw obliczamy różnicę szerokości i długości.

rφ = (±φ_B) – (±φ_A) = (+60° 00'0) – (+55° 00'0) = (+05° 00'0) = (+300'0)
rλ = (±λ_B) – (±λ_A) = (+012° 00'0) – (+010° 00'0) = (+002° 00'0) = (+120'0)

Z rysunku widzimy że:
Łuk CB = a₁ = rλ cos φ_B = (+120'0) × cos 60° = 120'0 × 0,50 = 60,0 Mm
Łuk AD = a₂ = rλ cos φ_A = (+120'0) × cos 55° = 120'0 × 0,57 = 68,8 Mm

Statek płynąc z punktu A do punktu B przesunie się na wschód o 60,0 Mm; a z B do A przesunie się na zachód o 68,8 Mm.
Wynika to stąd, że wzór a = rλ cosφ nie jest łukiem równoleżnika ani φ_A, ani φ_B. Ażeby zboczenie nawigacyjne w obu wypadkach miało jednakową wartość - wyprowadzamy średnią wartość zboczenia nawigacyjnego.

Wartość ta jest bardzo bliska, gdybyśmy zboczenie nawigacyjne obliczali dla średniej szerokości (φ_śr).

a = rλ cos φ_śr

log rλ = log 120'0 = 2,07918
log cos 57° 30' 0 = 9,73022
log a = 1,80940
a = 64,4 Mm

W naszych dalszych obliczeniach przy zmianie "a" na "rλ" i odwrotnie, będziemy się posługiwać następującymi wzorami:

Stosowanie φ_śr powoduje pewną niedokładność (nieregularna zmiana funkcji cosφ), ale w praktyce przy odległościach do 600 Mm i przy szerokościach poniżej 60° wynik jest w zupełności wystarczający, oprócz wypadku, gdy loksodroma przecina równik. Zboczenie nawigacyjne ma ten sam znak, co - rλ.

Rozwiązanie I-go problemu loksodromy przy pomocy φ_śr , trójkątem drogowym.
Rozwiązanie rachunkowe:

1. Obliczamy rφ: rφ = d cos KDd log d = 1,69020 log cos KDd = 9,94988 log rφ = 1,64008 rφ = + 43' 66 2. Obliczamy szerokość geograficzną: φB = φA + rφ = +54° 30'0 + (+43'66) = 55° 13'7 N 3. Obliczamy średnią szerokość geograficzną: 4. Obliczamy zboczenie nawigacyjne, następnie różnicę długości : rλ = d sin KDd sec φśr log d = 1,69020 log sin KDd = 9,65705 log sec φśr = 0,23995 log rλ = 1,58720 rλ = + 38'66 5. Obliczamy długość geograficzną: λB = λA + rλ = +018° 30'0 + (+38'66) = 019° 08' 7 E 6. Odpowiedź: φB = 55° 13' 7 N ; λB = 019° 08' 7 E

Uwaga: Nigdy nie zapominać o znakach przy "rφ" i "rλ", to bardzo ważne.

Pytanie, jak znaleźć właściwy znak?
Jest kilka sposobów, w zależności od zadania, jakie rozwiązujemy:

• W powyższym zadaniu wiemy, że KDd = 027°, co w systemie ćwiartkowym zapiszemy N27°E. To wyjaśnia od razu, jakie musimy użyć znaki, a mianowicie przy N (+), a prze E (+), czyli "rφ" (+) i "rλ" (+).
• W innym przypadku, jakie znaki należy użyć pokaże nam samo rozwiązanie matematyczne. Jeżeli od mniejszej cyfry odejmiemy większą to otrzymamy znak "–", a to z kolei podpowie nam, jakie symbole zostaną użyte przy określeniu stron świata (N, S, E lub W).

Rozwiązanie tablicowe (przy pomocy Tablic Nawigacyjnych) (TN).

Rozwiązujemy to samo zadanie, z tymi samymi danymi.

1. Najpierw obliczamy "rφ" z tablicy, oraz "a" również z tablicy.

Argumentami wejścia do tablicy są: KDd i d, w wyniku, czego otrzymamy następujące dane:
rφ = + 43'66      a = +22,25 Mm

2. Obliczamy φ_B i φ_śr

φ_B = (+54° 30'0) + (+43'66) = (+55° 13'66) = 55° 13'7 N
φ_śr = (+54° 30'0) + (+55° 13'7) = (+109° 43'7) / 2 = + 54° 51'8 = 54° 51'8 N

3. "a" zamieniamy na "rλ" przy pomocy Tablic Nawigacyjnych (TN). Argumentami wejścia są: "a" i "φ_śr"

4. Obliczamy λ_B:

λ_B = λ_A + rλ = (+018° 30'0) + (+38'8) = 019° 08'8 E

5. Wynik:

φ_B = 55° 13' 7 N ; λ_B = 019° 08' 7 E

Rozwiązanie II-go problemu loksodromy, trójkątem drogowym.

1. Obliczamy różnicę szerokości i długości: rφ = φB – φA = (+56° 00'0) – (+57° 46'0) = (–1° 46'0) = (–106'0) rλ = λB – λA = (+003° 00'0) – (+010° 44'0) = (–7° 44'0) = (–464'0) 2. Obliczamy φśr: 3. Obliczamy KDd: log rλ = 2,66652 log cos φśr = 9,73747 colog rφ = 7,97469 log tg KDd = 0,37868 KDd = S 67°5 W KDd = 247°5 Dlaczego w systemie ćwiartkowym mamy S i W ? Odpowiedź jest przy obliczeniu różnicy szerokości i długości. Tam przy rφ jest znak "–" oraz przy rλ jest znak "–". 4. Obliczamy d, czyli drogę: d = rφ sec KDd log rφ = 2,02531 log sec KDd = 0,41367 log d = 2,43898 d = 274,75 Mm 5. Odpowiedź: KDd = 245°5 d = 274,75 Mm

REASUMUJĄC. Trójkąt drogowy wykorzystujemy:

• Gdy droga nie przekracza 600 Mm.
• Przy małych rφ.
• Gdy loksodroma nie przechodzi przez równik.

Trójkąt Merkatora (Δ Merkatora)

Trójkąt Merkatora jest odpowiednikiem trójkąta loksodromicznego na mapie Merkatora.

Trójkąt Merkatora jest trójkątem prostokątnym o jednej przyprostokątnej równej różnicy długości geograficznej dwóch punktów leżących na mapie Merkatora i drugiej przyprostokątnej równej różnicy powiększonej szerokości geograficznej na mapie Merkatora.

Trójkąt Merkatora używa się przy obliczeniu φ_B ; λ_B lub KDd ; d przy pomocy powiększonej szerokości.
Δ loksodromicznemu odpowiada na mapie Δ Merkatora. Przy pomocy Δ Merkatora możemy obliczyć dokładnie KDd, natomiast "d" musimy obliczyć z Δ drogowego.

Elementy Δ Merkatora

Przeciwprostokątna AB jest odległością powiększoną w takim samym stopniu jak powiększona szerokość.

Trójkąt Merkatora.

Porównanie Δ drogowego z Δ Merkatora.

Δ A B C - drogowy (nawigacyjny)
Δ A B' C' - Merkatora

Δ drogowy jest Δ podobnym do Δ Merkatora, który powstał z przemnożenia Δ loksodromicznego o sec φ_śr

Zadanie:

1. Obliczamy różnicę szerokości i długości: rφ = φB – φA = (+54° 00'0) – (+56° 11'0) = (–2° 11'0) = (–131'0) rλ = λB – λA (+007° 50'0) – (–002° 34'0) = (+010° 24'0) = (+624'0) 2. Obliczamy φśr: 3. Obliczamy różnicę powiększonej szerokości: rV = VB - VA VB = (+3846,0)   z TN dla równoleżnika 54° 00'0 VA = (+4074,5)   z TN dla równoleżnika 56° 11'0 (+3846,0) – (+4074,5) = (–228,5) rV = (–228,5) "Powiększona szerokość" jest wyjaśniona w dziale Konstrukcja mapy Merkatora 4. Obliczamy KDd: log rλ = 2,80754 colog rV = 7,64111 log tg KDd = 0,44865 KDd = S 70°5 E KDd = 109°5 5. Obliczamy d: log rφ = 2,11727 log sec KDd = 0,47457 log d = 2,59184 d = 390,7 Mm

Zliczenie matematyczne

Stosujemy przy częstych zmianach kursu. Polega na wykorzystaniu I-go problemu żeglugi po loksodromie. Przy pomocy poznanych wzorów moglibyśmy kolejno obliczyć współrzędne punktów zwrotnych dochodząc, aż do punktu końcowego. Sposób ten jest skomplikowany i niewygodny, przy założeniu, że manewrowanie odbywało się na niedużym obszarze, tzn. że rφ między punktami krańcowymi (CG) nie przekracza 5°, możemy zsumować wszystkie różnice szerokości i zboczenia nawigacyjnego uzyskując Σrφ i Σa. Inaczej mówiąc sprowadzamy zagadnienie do rozwiązania trójkąta AGZ, z których Σrφ jest sumą wszystkich "φ", a Σa jest sumą wszystkich "a".

Dla obliczenia współrzędnych punktu końcowego używamy tabelki manewrowej:

Wartości do kolumn "rφ" oraz "a" znajdziemy w TN (Tablicach Nawigacyjnych), w tabeli zatytułowanej "Trójkąt nawigacyjny". Argumentem wejścia do tablicy jest odległość "d", oraz kurs (KDd) podany w systemie ćwiartkowym (np. S35°W), a to dlatego, że musimy wpisać do właściwej kolumny "+" lub "-".
Tabela oparta jest na wzorach:

Jak widzimy, w obu wzorach są te same dwie wartości "d" i "KDd", dlatego kolumna "KDd" w tabeli (TN) ma dwie podkolumny, jedna dla "rφ" a druga dla "a".

Przykład:

KDd₁ = 053°5     d₁ = 11,0Mm
KDd₂ = 057°5     d₂ = 27,0Mm
KDd₃ = 288°0     d₃ = 13,0Mm
KDd₄ = 300°0     d₄ = 16,2Mm
KDd₅ = 264°5     d₅ = 20,5Mm
KDd₆ = 244°5     d₆ = 11,0Mm

rφ	a
(+) 33,18	(+) 31,61
(–) 6,69	(–) 56,63
Σrφ = (+) 26,49	Σa = (–) 25,02

φA = (+) 54°03'0	log a = 1,39829
(+) rφ = (+)    26'5	log sec φśr = 0,23362
φB = (+) 54°,29'5	log rλ = 1,63191 rλ = (–) 42'85

	λB = λA + rλ λA = (+) 011°00'0 (+) rλ = (-)   42'8
	λB = (+) 010°17'2

Odpowiedź: φ_B = 54°29'5 N , λ_B = 010°17'2 E

Uwzględnienie dryfu
Przy działaniu wiatru (dryf) dodajemy do tabelki kolumnę na "pw" i wówczas nasze KDw = KDd. Oczywiście "pw" z odpowiednim znakiem.

Uwzględnienie prądu
Jeśli działa prąd o stałym kierunku i stałej szybkości to uważamy, że jacht był znoszony w danym czasie w kierunku jego działania. Znoszenie to traktujemy jako oddzielny kurs o danej szybkości prądu. Wypełniamy więc osobno rubrykę KDd i "d" np. Kp = 120° i Vp = 3,00w, działał w ciągu 2 godz. manewrowania kursami zmiennymi tzn. 3 x 2 = 6Mm i to będzie nasze "d".
Przy prądach pływowych, które z upływem czasu zmieniają swoje parametry, zamiast uwzględnić zmianę prądu co godzinę możemy obliczać prąd wypadkowy za pewien okres czasu. Podobnie jak zliczenie drogi, prąd możemy obliczyć wykresowo lub rachunkowo.

Żegluga po ortodromie

Po ortodromie pływa się odcinkami loksodromy, które to od razu ustalamy (obliczamy). Po przepłynięciu całego odcinka loksodromy, zmieniamy kurs, aby płynąć po następnym odcinku.
Wyprowadzenie wzoru wiąże się z obszernym zagadnieniem jakim jest zbieżność południków, zatem niżej gotowy wzór.

d = odległość, ilość Mm po, których przepłynięciu, zmieniamy kurs o 1°
φ_A = szerokość geograficzna punktu wyjścia
KDd = kurs początkowy ortodromy.

Po przepłynięciu "d" Mm zmieniamy kurs o 1°, każdy następny odcinek drogi ma tyle samo Mm i za każdym jego przepłynięciem zmieniamy kurs o następny 1°.

Kalkulator - obliczanie ortodromy. Wprowadzając współrzędne pozycji wyjściowej i pozycji docelowej, komputer obliczy optymalną ortodromę.

Great Circle Sailing Note: Enter degrees, minutes and decimal minutes or degrees, minutes, seconds and decimal seconds Origin (Initial Position) Latitude : degrees minutes seconds Longitude : degrees minutes seconds Destination (Final Position) Latitude : degrees minutes seconds Longitude : degrees minutes seconds Results Initial Course : degrees true Great Circle Distance : nautical miles Way Point Calculations Way Point Longitude : degrees minutes seconds Way Point Latitude : degrees minutes seconds Great Circle Sailing - Script dates from part: National Geospatial-Intelligence Agency http://www.nga.mil