Wróćmy do tabeli, w której umieściliśmy oba układy: horyzontalny i równikowy. Łatwo zauważyć, że oba układy wyznaczają położenie ciała niebieskiego na kuli niebieskiej. Ale nawigatora interesuje, na jakiej on się znajduje pozycji na morzu, to znaczy, jak ją określić przy pomocy ciał niebieskich. Niestety używając li-tylko jednego układu; horyzontalnego lub równikowego nie jesteśmy w stanie określić pozycji na morzu. Całe szczęście, że układy te ściśle się zazębiają i uzupełniają. Będąc w Układzie Horyzontalnym, który to tkwi w Układzie Równikowym jesteśmy w stanie obliczyć naszą pozycję na morzu.

Nie pozostało nic innego jak oba układy połączyć, "nałożyć na siebie", czyli zrobić "2 w 1". Tym sposobem otrzymaliśmy  trójkąt biegunowy . Zwany również paralaktycznym.
Jednym słowem:
Trójkąt biegunowy znajduje się na kuli niebieskiej, a odpowiadający mu trójkąt nawigacyjny (terrestryczny) znajduje się na kuli ziemskiej.

Powyższy rysunek wykorzystamy później jeszcze raz, przy określaniu PO. Na rysunku już naniesiono linię (zielony kolor), a właściwie okrąg. Jest to okrąg, z którego widać c.n. (gwiazdę) na tej samej wysokości, inaczej linia jednakowych wysokości. Więc jest to jedna z linii pozycyjnych. Jak ją obliczyć dowiemy się później.

Południk niebieski oraz dwa koła wielkie, przechodzące przez ciało niebieskie (gwiazdę) a mianowicie; koło godzinne i koło wierzchołkowe tworzą trójkąt biegunowy (Z-Pn-G).

Rys.19 jest rysuniem poglądowym, na którym trójkąt biegunowy jest pokazany z dwóch widoków. Wyłuskajmy z niego sam trójkąt biegunowy i opiszmy go.

• Zenit (Z), (rzut pozycji obserwatora na kulę niebieską)
• Biegun (Pn) (rzut bieguna północnego ziemskiego na kulę niebieską)
• Ciało niebieskie (G) (gwiazda)

• Kąt przy zenicie, czyli kąt zawarty pomiędzy południkiem niebieskim a kołem wierzchołkowym to Azymut (ω), gwiazdy G.
• Kąt przy biegunie, czyli kąt zawarty pomiędzy południkiem niebieskim a kołem godzinnym to Kąt godzinny (gλ), gwiazdy G
• Kąt przy gwieździe, czyli kąt zawarty pomiędzy kołem godzinnym a kołem wierzchołkowym to Kąt paralaktyczny (v).

• Bok na kole wierzchołkowym pomiędzy zenitem a gwiazdą to Odległość zenitalna (z), czyli dopełnienie wysokości. [90°-h]
• Bok na kole godzinnym pomiędzy biegunem a gwiazdą to Odległość biegunowa (p), czyli dopełnienie deklinacji ciała niebieskiego. [90°-δ]
• Bok na południku niebieskim pomiędzy zenitem a biegunem to Dopełnienie szerokości (90°-φ) geograficznej pozycji obserwatora, gdyż łuk (Pn-Z) jest rzutem łuku południka ziemskiego zawartego pomiędzy biegunem ziemskim a pozycją obserwatora.

Kolej na bardziej przejrzysty rysunek trójkąta biegunowego. Oto on:

Łatwo zauważyć, że mamy trzy miejsca odniesienia, od których dokonujemy pomiarów bądź wykonujemy obliczenia. Oto one:

• miejscowy południk niebieski (południk obserwatora)
• płaszczyzna horyzontu
• płaszczyzna równika niebieskiego

Wszelkie zagadnienia w astronawigacji polegają na rozwiązywaniu powyższego trójkąta biegunowego.

UWAGA musimy to zapamiętać!

Horyzont - tutaj odczytujemy kierunki (azymut, amplituda) oraz wysokość c.n.
Równik - tutaj odczytujemy czas (kąty czasowe w mierze czasowej [np.12^h00^m00^s] albo w mierze łukowej [np.125°41'22'']) oraz deklinację c.n.

Wysokość biegunowa

Jest to ostatnia wielkość charakterystyczna dla trójkąta biegunowego, którą musimy zapamiętać, bo jest ona bardzo przydatna do obliczania szerokości z Gwiazdy Polarnej oraz szerokości z dolnej kulminacji ciała niebieskiego.

Porównajmy oba te rysunki i zwróćmy szczególną uwagę na:
Łuk K-Z (oba rysunki) na południku niebieskim, zawarty między zenitem a równikiem, równa się szerokości geograficznej (φ), gdyż zenit jest rzutem pozycji obserwatora, a równik niebieski jest rzutem równika ziemskiego, podobnie jak południk niebieski jest rzutem południka miejscowego.

Łuk N-Pn (oba rysunki) na południku niebieskim między biegunem a horyzontem nazywamy wysokością biegunową, (nie mylić z odległością biegunową!). Łuk N-Pn jest równy łukowi Z-K, czyli szerokości geograficznej. Łuk N-Pn jest bowiem dopełnieniem łuku Pn-Z, a łuk Pn-Z jest dopełnieniem szerokości.

Najlepiej ująć trójkąt biegunowy w formie tabeli.

Określenie	Symbol	Co oznacza
Zenit	Z	Rzut pozycji obserwatora na kulę niebieska
Biegun	Pn lub Ps	Rzut bieguna ziemskiego na kulę niebieską
Ciało niebieskie		Słońce, Księżyc, Planeta, Gwiazda (G)
Azymut	ω	Łuk N – M (NR = Namiar Rzeczywisty na c.n.)
Kąt godzinny	gλ	Łuk K – L
Kąt paralaktyczny	v
Odległość zenitalna	z	90° – h (łuk G – Z)
Odległość biegunowa	p	90° – δ (łuk G – Pn)
Dopełnienie szerokości	90° – φ	Łuk Pn – Z
Łuki na zewnątrz trójkąta biegunowego
Wysokość c.n.	h	Łuk M – G
Deklinacja c.n.	δ	Łuk L – M
Wysokość biegunowa	p	Łuk N – Pn

Utrwalenie materiału

Najwyższy czas, aby zacząć przygotowania do obliczeń pozycji z ciał niebieskich. Najlepiej zacząć od rysunku.

Przede wszystkim na rysunek nanieśliśmy wszystko o czym się wcześniej zapoznaliśmy. Proszę porównać wszystkie rysunki: Rys.09, 10, 11, 12, 13, 17, 18 , 21 i 21a.

Oto mamy pierwsze zadanie poglądowe:

Obliczamy, lub odczytujemy z rysunku: p = (90° – (±)δ) = 90° – (+20°) = +70°
z = (90° – h) = 90° – 40° = 50° (h zdejmujemy z rysunku)
ω = N111°W (ω zdejmujemy z rysunku i obliczamy w systemie połówkowym)
h = 40°

Oczywiście dane odczytane z rysunku są danymi przybliżonymi (na "oko"). Chodzi nam o graficzne przedstawienie i zrozumienie zagadnienia.

Popatrzmy na następny rysunek:

Obliczamy, lub odczytujemy z rysunku:
p = (90° – (±)δ) = 90° – (–15°) = 105°
z = (90° – h) = 90° – 10° = 80°
ω = N151°W
h = 10°

I jeszcze jeden rysunek dla wprawy:

Obliczamy, lub odczytujemy z rysunku:
p = (90° – (±)δ) = 90° – (+55°) = 35°
z = (90° – h) = 90° – 30° = 60°
ω = N030°E
h = 30°

Tutaj już możemy wyciągnąć jeden wniosek, a mianowicie, jeżeli gλ ma znak E, to ω w systemie połówkowym również ma znak E.